Proposición 30

Enunciado

Sea $X$ un conjunto simplemente ordenado que satisface la propiedad del supremo. Entonces, todo intervalo cerrado $[a,b]$ es compacto con la topología del orden.^[1]

Demostración

Dados $a<b$, sea $\mathcal{A}=\{A_i{\}}_{i\in I}$ un cubrimiento por abiertos de $[a,b]$. Queremos demostrar que existe un subcubrimiento finito de $\mathcal{A}$ que cubre a $[a,b]$. Para ello, definimos el conjunto

A partir de aquí, se distinguen varios pasos:

1. $C\ne \varnothing$ pues $a\in C$, ya que $a\in A_{i_0}\in \mathcal{A}$; por tanto, $[a,a]=\{a\}\subset A_{i_0}$.

2. Por la propiedad del supremo, como $C$ está acotado por $b$, entonces tiene un supremo $c$ que también está acotado por $b$. Véase: $a\le c\le b$.

3. Comprobamos que $c\in C$, esto es, que el intervalo $[a,c]$ puede ser cubierto por un número finito de abiertos de $\mathcal{A}$. Tomamos un $A_0\in \mathcal{A}$ de manera que $c\in A_0$^[2]; entonces, como $A_0$ es abierto, va a existir un $d\in [a,b]$ tal que $(d,c]\subset A_0$^[3]. Por reducción al absurdo, suponemos que $c\notin C$. Como consecuencia, debe existir un punto $z\in (d,c)\cap C$ pues si no, $d$ sería una cota superior de $C$ menor que $c$, lo que supone una contradicción pues $c$ es el supremo.

   Así, como $z\in C$, el intervalo $[a,z]$ puede ser cubierto por un número finito de abiertos de $\mathcal{A}$: $A_1,A_2,\dots ,A_n$. Por otro lado, $[z,c]\subset (d,c]\subset A_0$; por tanto, $$
   [a, c]=[a, z]\cup[z, c]\subset(A_{1}\cup A_{2}\cup\dots\cup A_{n})\cup A_

   $$Deestamanera,\$c\in C\$.$$

   [a, y]=[a, c]\cup[c, y]\subset(A_{1}\cup\dots\cup A_{n}\cup A_{0})\cup A_{0}'
   $$Lo que significa que $y\in C$, siendo $y>c$, pero esto es una contradicción pues $c$ es el supremo ^[4]. Por tanto, $c=b\in C$ y $[a,b]$ se cubre por un número finito de abiertos de $\mathcal{A}$, por lo que es compacto. $◼$